3种方法来求五边形的面积

方法1

通过边长和边心距求面积

1从边长和边心距入手。这个方法适用于求五个内角大小完全相等的正五边形面积。除了边长信息，你还需要已知五边形的“边心距”。边心距是五边形每条边到其外接圆的圆心的距离，从圆心到边作垂线，垂线与五边形的边形成的夹角正好是90º。不要混淆边心距和半径的概念，半径是从中心到五边形边角（顶点），而边心距则是中心到五边形的边中点的距离。如果你只知道边长和半径长，请跳至第二个方法。我们将使用边长为3个单位长和边心距为2个单位长的五边形作为示例。

2将五边形分割成五个三角形。从外接圆圆心向五边形的边角（顶点）画五条直线，这样能将其分割成五个三角形。

3计算三角形的面积。每个三角形都有一个底边，长度等于五边形的边长。三角形也有一个高，长度和五边形的边心距相等。（记住，三角形的高是从一个顶点向对边作垂线，形成一个直角）。计算三角形面积的公式是：面积S=½x底边长x高。在我们的示例中，三角形面积=½x3x2=3单位面积。

4用三角形面积乘以5，求出五边形面积。我们将五边形等分为五个三角形，每个三角形面积相等，五边形的面积就是三角形的面积乘以5。在我们的例子中，A（五边形面积）=5xA（三角形面积）=5x3=15单位面积。

方法2

通过边长求面积

1仅从边长入手。这个方法适用于求五条边长完全相等的正五边形面积。在这一部分，我们使用边长为7个单位长的五边形为例。

2将五边形分割成五个三角形。从外接圆圆心向五边形的五个边角（顶点）画线，这样就把五边形分割为五个大小相等的三角形。

3将三角形分成两半。从五边形的中点向三角形底边作垂线，这条线和底边相交形成90º角，并将三角形分成两半，形成两个更小的三角形。

4标记小三角形的已知信息。我们已经知道了小三角形的一边和一个角：三角形的底边就是五边形边长的½。在本例中，小三角形的底边为½x7=3.5单位长。三角形的顶角等于大三角形顶角的一半，也就是36º[1]。（具体计算过程是：中心是360º，我们将其分为10个相同的小三角形，也就是360÷10=36。所以顶角为36º）。

5计算三角形的高。三角形的高就是从五边形中心向边作的垂线，形成一个直角。我们可以使用三角函数来求出高的长度：[2]在直角三角形中，一个角的正切函数等于对边长除以临边长。36º角的对边是三角形的底（五边形边长的一半）。36º角的临边是三角形的高。tan（36º）=对边/临边在本例中，tan（36º）=3.5/高高xtan（36º）=3.5高=3.5/tan（36º）高=（约等于）4.8单位长。

6计算三角形的面积。三角形的面积等于½x底边长x高（A=½bh）。此时我们已知高和底边，代入公式即可求出三角形面积。在本例中，小三角形的面积=½bh=½（3.5）（4.8）=8.4单位面积。

7乘以数量求出五边形面积。一个小三角形的面积是五边形面积的1/10。所以，要求五边形面积，用小三角形面积乘以10即可。在本例中，五边形面积=8.4x10=84单位面积。

方法3

使用公式

1使用周长和边心距来计算面积。边心距是从五边形中心向边作垂线，垂线的长度就是边心距大小。如果你已知这个长度，你可以使用下面这个简单的公式。正五边形的面积=“pa”/2，其中“p”=周长，“a”=边心距。[3]如果你不知道周长，可以通过边长来计算。计算公式是：p=5s，其中“s”是边长。

2使用边长来计算面积。如果你只知道边长，那么使用以下公式进行计算：[4]正五边形的面积=（5s2）/（4tan（36º）），其中“s”=边长。tan（36º）=√（5-2√5）[5]。如果你的计算器没有“tan”功能，可以使用面积公式：面积=（5s2）/（4√（5-2√5））。

3选择只用半径来求面积的公式。如果你只知道半径，也可以求面积。使用以下公式：[6]正五边形的面积=（5/2）r2sin（72º），其中“r”是半径。

小提示

不规则的五边形，即五条边不相等的五边形，其面积是比较难计算的。最好的计算方法将五边形分割成几个三角形，然后将它们的面积加起来。你还可以用规则的形状将五边形包围起来，然后通过减去多余部分的面积，就可以得到五边形的面积了。同时使用几何法和公式法，比较之后确定正确的答案。如果你将数据一次全带入公式进行计算，得到的结果可能会有一点不同（因为中间过程不需要求近似），但是它们应该很接近。例子里用的结果是近似值，是为了方便计算。如果你要计算给定边长的五边形的面积，那么不同的边长得到的面积也不同。公式法可以由几何方法推导出来，推导过程和文中描述的类似。你可以尝试推导一下。通过半径求五边形面积的方法是比较难推导的（小提示：你可能需要用到二倍角等式）。

http://www.math-prof.com/Trig/Trig_Ch_18.aspxhttp://www.mathopenref.com/apothem.htmlhttp://www.purplemath.com/modules/basirati.htm

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