有理数和无理数的定义(有理数和无理数的区别)

有理数的定义:有理数是整数和分数的通称，是整数和分数的结合。无理数的定义:无理数是无限循环的小数，是所有非有理数的实数。无理数是指实数范围内不能显示为两个整数之比的数，如圆周率。

有理数和无理数的区别

当有理数和无理数都写小数时，有理数可以写有限的小数。每个有理数可以写两个整数比，而无理数不能写两个整数比。常见的无理数包括不完全平方数的平方根π和e（后两者都超过了数字）等等。无理数的另一个特点是无限的连分关系。毕达哥拉斯流派学徒希伯索斯最早发现了无理数。

有理数集是整数集的扩展。在有理数集中，加法、减法、乘法和除法（除数不为零）是无阻的。无理数是指实数范畴中不能显示为两个整数比的数。简单地说，无理数是10进制中的无限无循环小数。

有理数的名字来源

“有理数”这个名字不可避免地令人费解，有理数并不比其他数字更“合理”。事实上，这可能是一个翻译中的错误。“有理数”一词是从西方传出来的，在英语中rational number，rational通常意味着“理性”。中国在现代西方科学翻译。根据日语中的翻译方法，它被翻译成“有理数”。

然而，这个词来自古希腊，它的英语词根是ratio，这意味着比率（这里的词根是英语的，希腊语的意思是一样的）。所以这个词的意思也很明显，也就是整数的“比率”。相比之下，“无理数”不能准确地表示为两个整数的比率，而不是不合理的。

无理数的起源

毕达哥拉斯(Pythagoras，从公元580年到公元500年)是古希腊大数学家。他证实了许多重要的定律，包括以他的名字命名毕达哥拉斯定律（股票定理），即直角三角形两个直角边缘的正方形面积之和等于斜边缘的正方形面积。毕达哥拉斯熟练地运用了数学知识后，他觉得自己不仅可以满足于计算和回答问题，所以他试图从数学领域扩展到哲学，用数学的观点来解释世界。

经过一番艰苦的实践，他提出了“一切都是数字”的立场：数字的原始元素是万物元素，世界是由数字组成的，世界上没有什么不能用数字来表达，数字是世界的秩序。

公元500年，毕达哥拉斯流派的徒弟希伯索斯(Hippasus)我发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角和一边的长度是不公平的(如果正方形的边长是1，那么对角的长度就不是有理数的)，这与毕氏流派的“万物皆为数”(指有理数)哲学完全不同。

这一发现吓坏了学校领导人，认为这将动摇他们在学术界的统治地位，所以他们试图禁止真理的传播，希伯索斯被迫逃离家乡，不幸的是，他们仍然在一艘船上遇到了毕的弟子。毕的弟子残忍地倾注了水中的伤害。科学史就这样开始了，这是一种不幸。

希伯索斯的发现首次向人们揭示了有理数系统的缺点，证实了它不能等同于连续的无限直线。有理数没有覆盖数轴上的点，数轴上有“孔”，不能用有理数来表示。但这种“孔”被后代证实是“无数的”。

因此，古希腊人把有理数视为连续对接的算数连续统的想法彻底破灭了。不可衡量的发现，连同芝诺悖论，被称为数学史上的第一次数学危机，对未来2000多年数学的发展产生了深远的影响，促进了人们从直觉和经验到证实的转变，促进了公理几何和逻辑的发展，孕育了微积分概念的萌芽。

不能预约的本质是什么？一直都不一样，得不到正确的表达，两个不能通约的比例一直被称为相当不讲理的数字。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理数”，17世纪德国科学家开普勒称之为“不可名状”。

但真知终究无法吞没，毕氏流派扼杀真知才是“无理”。为了纪念希伯索斯，一个献身于真理的可敬学者，他命名为“无理数”——这就是无理数的起源。

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