什么是正交变换

在线性代数中，正交变换是线性变换的一种，它从实内积空间V映射到V自身，且保证变换前后内积不变。

因为向量的模长与夹角都是用内积定义的，所以正交变换前后一对向量各自的模长和它们的夹角都不变。特别地，标准正交基经正交变换后仍为标准正交基。

在有限维空间中，正交变换在标准正交基下的矩阵表示为正交矩阵，其所有行和所有列也都各自构成V的一组标准正交基。因为正交矩阵的行列式只可能为+1或−1，故正交变换的行列式为+1或−1。

行列式为+1和−1的正交变换分别称为第一类的（对应旋转变换）和第二类的（对应瑕旋转变换）。可见，欧几里得空间中的正交变换只包含旋转、反射及它们的组合（即瑕旋转）。

正交变换的逆变换也是正交变换，后者的矩阵表示是前者矩阵表示的逆。

扩展资料

性质：

（1）设A是V的线性变换，则A(0)=0,A(-α)=-A(α)；

（2）线性变换保持线性组合与线性关系式不变；

（3）线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。

线性变换的加法和数量乘法

定义一：设A,B∈L(V)，对A与B和A+B定义为:(A+B)ax=Aa+Ba,VaeV

定义二：设A∈L(V),k∈P，对k与A的数量乘积KA定义为:

(kA)a=k●Aa,Va∈V

定义三：设A,B∈L(V),对A与B的乘积AB定义为:(AB)a=A(Ba),Va∈V

定义四：设A∈L(V),若存在B∈L(V)，使得AB=BA=E，则称A是可逆的，且B是A的逆变换，记为:B=A-1

参考资料来源：百度百科-正交变换

设M是对称矩阵，P是正交矩阵，N=P^tMP称为M的正交变换。（正交矩阵的定义为：P.P^t=E）正交变换既是相似变换，也是相合变换。正交变换不改变M的特征值。这种矩阵元又被称为简正坐标.用质量加权坐标表示的分子内部运动的动能,用质量加权坐标表示的分子内部势能,由力常数的数学表达式可以知道fij=fji因而矩阵为一个正交变换通过酉变换可以把矩阵变形成为对角矩阵的形式：。则有：它的每一个矩阵元都是分子所有质量加权坐标的线性组合，总的矩阵元的数量恰巧等于质量加权坐标的个数，这些矩阵元就被称作简正坐标,而这些变换中分子的势能不变,所以正交变换又称为酉变换.所谓正交是指【X，Y】=0其中X，Y均为向量；而正交矩阵是指：矩阵A具有如A^tA=E（其中E为单位矩阵）性质，则称A为正交矩阵。所以矩阵的正交变换既是指：若P为正交矩阵，则线性变换y=Px称为正交变换。欧几里得空间内正交变换的定义：设V为欧式空间，σ是V上的线性变换，若对于任何α∈V，都有▏σ（α）▏=▏α▏，则称σ是V上的正交变换。

设M是对称矩阵，P是正交矩阵，N=P^tMP称为M的正交变换

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